Question

17．設函數(shù)f（x）=2e^x（x+1）（其中e=2.71828…）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[t，t+1]（t＞-3）上的最小值；
（Ⅲ）若g（x）=x²+4x+2，判斷函數(shù)F（x）=2f（x）-g（x）+2零點個數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意和求導公式、法則求出f′（x），求出導數(shù)f′（x）大于零和小于零的x范圍，即可求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出函數(shù)的單調區(qū)間，根據(jù)t＞-3判斷出t+1的范圍，再對t進行分類討論，分別判斷出函數(shù)的單調性，并求出對應的函數(shù)的最小值；
（Ⅲ）由題意求出F（x），由求導公式、法則求出F′（x），求出導數(shù)F′（x）大于零和小于零的x范圍，即可求出函數(shù)的單調區(qū)間，并求出函數(shù)的極值，根據(jù)端點處函數(shù)值的符號和函數(shù)的單調性，判斷出函數(shù)F（x）零點個數(shù)．

解答 解：（Ⅰ） f′（x）=2e^x（x+1）+2e^x=2e^x（x+2），…（1分）
由f′（x）＞0得x＞-2，由f'（x）＜0得x＜-2，
∴f（x）在（-2，+∞）單調遞增，在（-∞，-2）單調遞減．…（3分）
∴f（x）極小值=f（-2）=-2e^-2，不存在極大值．…（4分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，f（x）在（-2，+∞）單調遞增，在（-∞，-2）單調遞減．
∵t＞-3，∴t+1＞-2
①當-3＜t＜-2時，f（x）在[t，-2]單調遞減，[-2，t+1]單調遞增，
∴$f{（x）_{min}}=f（-2）=-2{e^{-2}}$．…（6分）
②當t≥-2時，f（x）在[t，t+1]單調遞增，
∴$f{（x）_{min}}=f（t）=2{e^t}（t+1）$；    …（8分）
綜上可得，當-3＜t＜-2時，$f{（x）}_{min}=-2{e}^{-2}$，
當t≥-2時，$f{（x）}_{min}=2{e}^{t}（t+1）$…（9分）
（Ⅲ）由題意得F（x）=4e^x（x+1）-x²-4x，
∴F′（x）=4e^x（x+1）+4e^x-2x-4=2（x+2）（2e^x-1），…（10分）
由F′（x）＞0得：x＞-ln2或x＜-2，由F′（x）＜0得：-2＜x＜-ln2，
所以F（x）在（-∞，-2），（-ln2，+∞）上單調遞增，在（-2，-ln2）上單調遞減…（12分）
∴$F{（x）_{極小值}}=F（-ln2）=2+2ln2-（ln2{）^2}=2+ln2（2-ln2）＞0$
當x→-∞時，F(xiàn)（x）＜0，
故函數(shù)F（x）=2f（x）-g（x）+2只有一個零點．…（14分）

點評 本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值、求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，利用函數(shù)的導數(shù)研究函數(shù)的零點問題，考查分類討論思想，屬于中檔題．