Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）=2cos²x+2sinxcosx．
（1）求$f（{\frac{π}{8}}）$的值；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間$[{0，\frac{π}{2}}]$上的值域．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=1+$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），代入x=$\frac{π}{8}$即可得解．
（2）由x的范圍，可得2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，由正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解．

解答 解：（1）f（x）=1+cos2x+sin2x=1+$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
故f（$\frac{π}{8}$）=1+$\sqrt{2}$sin$\frac{π}{2}$=1+$\sqrt{2}$…5分
（2）∵x∈$[{0，\frac{π}{2}}]$，可得2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，
∴當(dāng)2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{8}$時(shí)，f（x）取得最大值為1+$\sqrt{2}$，
當(dāng)2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{4}$，即x=$\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）取得最小值為0，
于是可得函數(shù)f（x）在區(qū)間$[{0，\frac{π}{2}}]$上的值域是：[0，1+$\sqrt{2}$]…10分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．