Question

2．已知三棱錐A-BCD中，AB⊥面BCD，△BCD為邊長為2的正三角形，AB=2，則三棱錐的外接球體積為$\frac{28}{27}\sqrt{21}$π．

Answer 1

分析 由已知結(jié)合三棱錐和正三棱柱的幾何特征，可得此三棱錐外接球，即為以△BCD為底面以AB為高的正三棱柱的外接球，分別求出棱錐底面半徑r，和球心距d，可得球的半徑R，即可求出三棱錐的外接球體積．

解答 解：根據(jù)已知中底面△BCD是邊長為2的正三角形，AB⊥面BCD，
可得此三棱錐外接球，即為以△BCD為底面以AB為高的正三棱柱的外接球
∵△BCD是邊長為2的正三角形，
∴△BCD的外接圓半徑r=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，球心到△BCD的外接圓圓心的距離d=1
故球的半徑R=$\sqrt{\frac{4}{3}+1}$=$\frac{\sqrt{21}}{3}$，
∴三棱錐的外接球體積為$\frac{4}{3}π•（\frac{\sqrt{21}}{3}）^{3}$=$\frac{28}{27}\sqrt{21}$π．
故答案為：$\frac{28}{27}\sqrt{21}$π．

點評 本題考查的知識點是球內(nèi)接多面體，考查三棱錐的外接球體積，正確求出球的半徑是解答的關鍵．