11.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且當x≤0時,f(x)=x2+2x.
(1)求f(x)的解析式,
(2)若函數(shù)g(x)=f(x)-2ax+2>0在[1,2]上恒成立,試求實數(shù)a的取值范圍.

分析 (1)設x>0,則-x<0,從而f(-x)=f(x)=x2-2x,由此能求出f(x)的解析式.
(2)由已知g(x)=x2-(2+2a)x+2>0在[1,2]上恒成立,g′(x)=2x-2-2a,由此利用導數(shù)性質(zhì)及分類討論思想能求出g(x)=f(x)-2ax+2>0在[1,2]上恒成立,實數(shù)a的取值范圍.

解答 解:(1)∵函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且當x≤0時,f(x)=x2+2x,
設x>0,則-x<0,
∴f(-x)=x2-2x,
∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù),所以f(-x)=f(x),所以x>0時,f(x)=x2-2x,
故f(x)的解析式為f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x,x≤0}\\{{x}^{2}-2x,x>0}\end{array}\right.$.
(2)∵g(x)=f(x)-2ax+2>0在[1,2]上恒成立,
∴g(x)=x2-(2+2a)x+2>0在[1,2]上恒成立,
g(x)=x2-(2+2a)x+2的對稱軸方程為x=a+1,
g′(x)=2x-2-2a,
x=a+1時,g′(x)=0,g(x)取最小值,
x>a+1時,g′(x)>0,g(x)是增函數(shù),
x<a+1時,g′(x)<0,g(x)是減函數(shù),
①a+1≤1時,即a≤0時,g(x)在[1,2]單調(diào)遞增,
g(x)≥g(1)=1-2a>0,
∴a<$\frac{1}{2}$且a<0,∴a≤0;
②1<a+1≤2時,即0<a≤1,g(x)先減后增,
g(x)≥g(a+1)=2-(a+1)2>0,
即(a+1)2<2,
解得-$\sqrt{2}$-1<a<$\sqrt{2}-1$,
(-$\sqrt{2}-1$,$\sqrt{2}-1$)∪(0,1]=(0,$\sqrt{2}$-1),
即0<a<$\sqrt{2}-1$;
③當a+1>2時,即a>1時,g(x)在[1,2]遞減,
g(x)≥g(2)=2-4a>0,
∴a<$\frac{1}{2}$,a<$\frac{1}{2}$與a>1的交集是∅.
綜上:g(x)=f(x)-2ax+2>0在[1,2]上恒成立,實數(shù)a的取值范圍是(-∞,$\sqrt{2}-1$).

點評 本題考查函數(shù)的解析式的求法,考查實數(shù)的取值范圍的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意導數(shù)性質(zhì)和分類討論思想的合理運用.

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