Question

11．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當x≤0時，f（x）=x²+2x．
（1）求f（x）的解析式，
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-2ax+2＞0在[1，2]上恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設x＞0，則-x＜0，從而f（-x）=f（x）=x²-2x，由此能求出f（x）的解析式．
（2）由已知g（x）=x²-（2+2a）x+2＞0在[1，2]上恒成立，g′（x）=2x-2-2a，由此利用導數(shù)性質(zhì)及分類討論思想能求出g（x）=f（x）-2ax+2＞0在[1，2]上恒成立，實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當x≤0時，f（x）=x²+2x，
設x＞0，則-x＜0，
∴f（-x）=x²-2x，
∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，所以f（-x）=f（x），所以x＞0時，f（x）=x²-2x，
故f（x）的解析式為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x，x≤0}\\{{x}^{2}-2x，x＞0}\end{array}\right.$．
（2）∵g（x）=f（x）-2ax+2＞0在[1，2]上恒成立，
∴g（x）=x²-（2+2a）x+2＞0在[1，2]上恒成立，
g（x）=x²-（2+2a）x+2的對稱軸方程為x=a+1，
g′（x）=2x-2-2a，
x=a+1時，g′（x）=0，g（x）取最小值，
x＞a+1時，g′（x）＞0，g（x）是增函數(shù)，
x＜a+1時，g′（x）＜0，g（x）是減函數(shù)，
①a+1≤1時，即a≤0時，g（x）在[1，2]單調(diào)遞增，
g（x）≥g（1）=1-2a＞0，
∴a＜$\frac{1}{2}$且a＜0，∴a≤0；
②1＜a+1≤2時，即0＜a≤1，g（x）先減后增，
g（x）≥g（a+1）=2-（a+1）²＞0，
即（a+1）²＜2，
解得-$\sqrt{2}$-1＜a＜$\sqrt{2}-1$，
（-$\sqrt{2}-1$，$\sqrt{2}-1$）∪（0，1]=（0，$\sqrt{2}$-1），
即0＜a＜$\sqrt{2}-1$；
③當a+1＞2時，即a＞1時，g（x）在[1，2]遞減，
g（x）≥g（2）=2-4a＞0，
∴a＜$\frac{1}{2}$，a＜$\frac{1}{2}$與a＞1的交集是∅．
綜上：g（x）=f（x）-2ax+2＞0在[1，2]上恒成立，實數(shù)a的取值范圍是（-∞，$\sqrt{2}-1$）．

點評 本題考查函數(shù)的解析式的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質(zhì)和分類討論思想的合理運用．