Question

20．已知函數(shù)f（x）=x³-3x．
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）過點P（1，n）（n≠-2）作曲線y=f（x）的切線，問：實數(shù)n滿足什么樣的取值范圍，過點P可以作出三條切線？

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，即可得到極值；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點M（x₀，y₀），求得切線的斜率，以及切線的方程，代入點（1，n），可得過點（1，n）可作曲線的三條切線，即為關(guān)于x₀方程$2x_0^3-3x_0^2+n+3$=0有三個實根．設(shè)g（x₀）=$2x_0^3-3x_0^2+m+3$，求得導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極值，可令極大值大于0，極小值小于0，解不等式即可得到n的范圍．

解答 解：（1）∵f'（x）=3x²-3=0，
由-1＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）遞減，
x＞1或x＜-1時，f′（x）＞0，f（x）遞增．
∴在x=±1處取得極值，
即有極大值f（-1）=2，極小值f（1）=-2；
（2）f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
∵曲線方程為y=x³-3x，∴點P（1，n）不在曲線上．
設(shè)切點為M（x₀，y₀），則點M的坐標(biāo)滿足${y_0}=x_0^3-3x_0^{\;}$．
因$f'（x_0^{\;}）=3（x_0^2-1）$，故切線的斜率為$3（x_0^2-1）=\frac{{x_0^3-3x_0^{\;}-n}}{{x_0^{\;}-1}}$，
整理得$2x_0^3-3x_0^2+n+3=0$．
∵過點P（1，n）可作曲線的三條切線，
∴關(guān)于x₀方程$2x_0^3-3x_0^2+n+3$=0有三個實根．
設(shè)g（x₀）=$2x_0^3-3x_0^2+m+3$，則g′（x₀）=6$x_0^2-6x_0^{\;}$，
由g′（x₀）=0，得x₀=0或x₀=1．
∴g（x₀）在（-∞，0），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減．
∴函數(shù)g（x₀）=$2x_0^3-3x_0^2+m+3$的極值點為x₀=0，x₀=1
∴關(guān)于x₀方程$2x_0^3-3x_0^2+n+3$=0有三個實根的充要條件是$\left\{\begin{array}{l}g（0）＞0\\ g（1）＜0\end{array}\right.$，解得-3＜n＜-2．
故所求的實數(shù)a的取值范圍是-3＜n＜-2．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想的運用，考查運算求解能力，屬于中檔題．