分析 (Ⅰ)求出B的正弦函數(shù)值,利用三角形的面積公式求解即可.
(Ⅱ) 利用余弦定理求出AD,求出$cos∠ADC=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$.在Rt△DAC中求解DC即可.
解答 (本小題13分)
解:(Ⅰ)∵$cosB=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$,且0<B<π,
∴$0<B<\frac{π}{2}$.
又∵sin2B+cos2B=1,
∴$sinB=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$.∴$sinB=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$.
∵$AB=3\sqrt{2}$,$BD=\sqrt{3}$,
∴${S_{△ABD}}=\frac{1}{2}AB•BDsinB$=$\frac{1}{2}×3\sqrt{2}×\sqrt{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{3}$=$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$.…(5分)
(Ⅱ)∵AD2=AB2+BD2-2AB•BDcosB,
且$AB=3\sqrt{2}$,$BD=\sqrt{3}$,$cosB=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$,
∴$A{D^2}=18+3-2×3\sqrt{2}×\sqrt{3}×\frac{{\sqrt{6}}}{3}=9$,
∴AD=3.
又∵$cos∠ADB=\frac{{B{D^2}+A{D^2}-A{B^2}}}{2BD•AD}=\frac{3+9-18}{{2×\sqrt{3}×3}}=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$,
∴$cos∠ADC=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$. 又∵在Rt△DAC中,∠DAC=90°,
∴$cos∠ADC=\frac{AD}{DC}$,即$\frac{{\sqrt{3}}}{3}=\frac{3}{DC}$,
∴$DC=3\sqrt{3}$. …(13分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查余弦定理的應(yīng)用,三角形的面積的求法,考查計(jì)算能力.
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A. | $±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ | B. | ±3 | C. | $±\sqrt{2}$ | D. | ±1 |
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A. | $\sqrt{3}$ | B. | 1 | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ |
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A. | 5 | B. | 6 | C. | 7 | D. | 8 |
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A. | 1-2i | B. | 1+2i | C. | -1-2i | D. | -1+2i |
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