Question

15．已知圓C：（x-2）²+y²=4，直線${l_1}：y=\sqrt{3}\;x$，l₂：y=kx-1，若l₁，l₂被圓C所截得的弦的長度之比為1：2，則k的值為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． 1
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 由條件利用直線和圓相交的性質(zhì)，點到直線的距離公式、弦長公式，求得k的值．

解答 解：圓C：（x-2）²+y²=4的圓心為（2，0），半徑為2，
圓心到線${l_1}：y=\sqrt{3}\;x$的距離為$\sqrt{3}$，l₁被圓C所截得的弦的長度為2$\sqrt{{2}^{2}-3}$=2，
圓心到l₂的距離為 $\frac{|2k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，l₂被圓C所截得的弦的長度為2$\sqrt{4{-（\frac{2k-1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}）}^{2}}$，
結(jié)合l₁，l₂被圓C所截得的弦的長度之比為1：2，可得2$\sqrt{4{-（\frac{2k-1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}）}^{2}}$=2×2，
求得k=$\frac{1}{2}$，
故選：C．

點評 本題主要考查直線和圓相交的性質(zhì)，點到直線的距離公式、弦長公式的應(yīng)用，屬于中檔題．