Question

14．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（$\frac{3}{2}$-x）=f（x），f（-2）=-3，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=-1，S_n=2a_n+n（n∈N^*），則f（a₅）+f（a₆）=3．

Answer 1

分析 先由函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，f（$\frac{3}{2}$-x）=f（x），推知f（3+x）=f（x），得到f（x）是以3為周期的周期函數(shù)．再由a₁=-1，且S_n=2a_n+n，推知a₅=-31，a₆=-63計(jì)算即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)
∴f（-x）=-f（x）
∵f（$\frac{3}{2}$-x）=f（x），
∴f（$\frac{3}{2}$-x）=-f（-x），
∴f（$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{2}$-x）=-f（$\frac{3}{2}$-x）=f（x），
∴f（3+x）=f（x）
∴f（x）是以3為周期的周期函數(shù)．
∵數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=-1，且S_n=2a_n+n，∴S_n-1=2a_n-1+n-1，∴a_n=2a_n-2a_n-1+1，
即a_n=2a_n-1-1，a_n-1=2（a_n-1-1），{a_n-1}以-2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
a_n=1-2ⁿ．
∴a₅=-31，a₆=-63
∴f（a₅）+f（a₆）=f（-31）+f（-63）=f（2）+f（0）=f（2）=-f（-2）=3
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用以及數(shù)列的通項(xiàng)及求和公式，在函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用中相互結(jié)合轉(zhuǎn)化中奇偶性，對(duì)稱(chēng)性和周期性之間是一個(gè)重點(diǎn)．