Question

在如圖所示的多面體中，四邊形ABCD為正方形，四邊形ADPQ是直角梯形，AD⊥DP，CD⊥平面ADPQ，AB=AQ=

1

2

DP．
（1）求證：PQ⊥平面DCQ；
（2）求二面角B-CQ-P的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）以D為原點(diǎn)，DA，DP，DC所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz．利用向量法能證明PQ⊥平面DCQ．
（2）分別求出面BCQ的一個(gè)法向量和平面PCQ的一個(gè)法向量，由此能求出二面角B-CQ-P的大小．

解答： （1）證明：因?yàn)锳D⊥DP，CD⊥平面ADPQ，所以DA，DP，DC兩兩垂直．以D為原點(diǎn)，
DA，DP，DC所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz．
不妨設(shè)AB=1，則D（0，0，0），B（1，0，1），C（0，0，1），Q（1，1，0），P（0，2，0）．…（1分）

DC

=（0，0，1），

DQ

=(1，1，0)，

PQ

=(1，-1，0)，

DC

•

PQ

=0，

DQ

•

PQ

=0，
故DC⊥PQ，DQ⊥PQ，又DC∩DQ=D，所以PQ⊥平面DCQ．…（6分）
（2）解：

BC

=(-1，0，0)，

BQ

=(0，1，-1)，
設(shè)平面BCQ的一個(gè)法向量為

n1

．

n1 • BC =-x=0 n1 • BQ =y-z=0

，故

n1

=（0，1，1）．

PC

=(0，-2，1)，

PQ

=(1，-1，0)，設(shè)平面PCQ的一個(gè)法向量為

n1

．

n2 • PC =-2y+z=0 n2 • PQ =x-y=0

，故

n2

=（1，1，2）．
則cos＜

n1

，

n2

＞=

3

2 • 6

=

3

2

．
可以判斷二面角B-CQ-P是鈍角，所以二面角B-CQ-P的大小為

5π

6

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．