Question

7．我市某大型企業(yè)2008年至2014年銷(xiāo)售額y（單位：億元）的數(shù)據(jù)如下表所示：

年份	2008	2009	2010	2011	2012	2013	2014
代號(hào)t	1	2	3	4	5	6	7
銷(xiāo)售額y	27	31	35	41	49	56	62

（1）在下表中，畫(huà)出年份代號(hào)與銷(xiāo)售額的散點(diǎn)圖；

（2）求y關(guān)于t的線(xiàn)性回歸方程，相關(guān)數(shù)據(jù)保留兩位小數(shù)；
（3）利用所求回歸方程，說(shuō)出2008年至2014年該大型企業(yè)銷(xiāo)售額的變化情況，并預(yù)測(cè)該企業(yè)2015年的銷(xiāo)售額，相關(guān)數(shù)據(jù)保留兩位小數(shù)．
附：回歸直線(xiàn)的斜率的最小二乘法估計(jì)公式：b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{t}_{i}{y}_{i}-n\overline{t}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{t}_{i}^{2}-n{\overline{t}}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）有給定的坐標(biāo)系中描出各組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，可得年份代號(hào)與銷(xiāo)售額的散點(diǎn)圖；
（2）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，利用最小二乘法可得橫標(biāo)和縱標(biāo)的平均數(shù)，橫標(biāo)和縱標(biāo)的積的和，與橫標(biāo)的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，寫(xiě)出線(xiàn)性回歸方程．
（3）根據(jù)上一問(wèn)做出的線(xiàn)性回歸方程，代入所給的t的值，預(yù)測(cè)該地區(qū)2015年的銷(xiāo)售額．

解答 解：（1）年份代號(hào)與銷(xiāo)售額的散點(diǎn)圖如下所示：

（2）由已知中的數(shù)據(jù)可得：
$\overline{t}$=$\frac{1}{7}$（1+2+3+4+5+6+7）=4，
$\overline{y}$=$\frac{1}{7}$（27+31+35+41+49+56+62）=43，
$\sum _{i=1}^{7}{t}_{i}{y}_{i}$=1373，$\sum _{i=1}^{7}{{t}_{i}}^{2}$=140，
故$\hat$=$\frac{\sum _{i=1}^{7}{t}_{i}{y}_{i}-7\overline{t}\overline{y}}{\sum _{i=1}^{7}{{t}_{i}}^{2}-7{\overline{t}}^{2}}$=$\frac{1373-1204}{140-112}$=$\frac{169}{28}$≈6.04，
則$\hat{a}$=$\overline{y}$-6.04$\overline{t}$=18.84，
故y關(guān)于t的線(xiàn)性回歸方程$\hat{y}$=6.04x+18.84，
（3）2015年的年份代號(hào)為8，
當(dāng)t=8時(shí)，$\hat{y}$=6.04×8+18.84=67.16，
故預(yù)測(cè)該企業(yè)2015年的銷(xiāo)售額約為67.16億元

點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)性回歸分析的應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是利用最小二乘法認(rèn)真做出線(xiàn)性回歸方程的系數(shù)，這是整個(gè)題目做對(duì)的必備條件，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題．