Question

12．以雙曲線F為圓心且過左頂點A的圓交雙曲線的一條漸近線于P、Q兩點，PQ不小于虛軸長，則離心率的取值范圍為（1，3]．

Answer 1

分析 設(shè)出F，A的坐標(biāo)，求得漸近線方程，求得圓心到漸近線的距離，運用弦長公式求得弦長PQ，由題意可得|PQ|不小于2b，結(jié)合a，b，c的關(guān)系和離心率公式計算即可得到所求范圍．

解答 解：設(shè)F（c，0），A（-a，0），
圓F：（x-c）²+y²=（a+c）²，
雙曲線的一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x，
圓心F到漸近線的距離為d=$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{bc}{c}$=b，
則|PQ|=2$\sqrt{（a+c）^{2}-^{2}}$≥2b，
即有（a+c）²≥2b²=2（c²-a²），
即為c²-2ac-3a²≤0，
由離心率e=$\frac{c}{a}$，可得
e²-2e-3≤0，解得-1＜e＜3．
又e＞1，則1＜e≤3．
故答案為：（1，3]．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查漸近線方程和離心率的范圍，同時考查直線和圓相交的弦長公式，屬于中檔題．