Question

15．設f（x）在x₀處可導，試求極限$\underset{lim}{n→∞}$n[f（x₀+$\frac{3}{n}$）-f（x₀）]．

Answer 1

分析 設f（x）在x₀處的導數為f′（x₀），從而化簡$\underset{lim}{n→∞}$n[f（x₀+$\frac{3}{n}$）-f（x₀）]=3$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{f（{x}_{0}+\frac{3}{n}）-f（{x}_{0}）}{\frac{3}{n}-0}$=3f′（x₀）．

解答 解：由題意，設f（x）在x₀處的導數為f′（x₀），
則$\underset{lim}{n→∞}$n[f（x₀+$\frac{3}{n}$）-f（x₀）]
=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{f（{x}_{0}+\frac{3}{n}）-f（{x}_{0}）}{\frac{1}{n}-0}$
=3$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{f（{x}_{0}+\frac{3}{n}）-f（{x}_{0}）}{\frac{3}{n}-0}$=3f′（x₀）．

點評 本題考查了導數的綜合應用．