Question

20．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PB，且側(cè)面PAB⊥平面ABCD，點E是棱AB的中點．
（1）求證：PE⊥AD；
（2）若∠ADC=$\frac{π}{3}$，求證：平面PEC⊥平面PAB．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性質(zhì)和面面垂直的性質(zhì)定理，可得PE⊥平面ABCD，再由線面垂直的性質(zhì)，即可得證；
（2）由線面垂直的判定定理可得AB⊥平面PEC，再由面面垂直的判定定理即可得證．

解答 證明：（1）因為PA=PB，點E是棱AB的中點，
所以PE⊥AB，
因為平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PE?平面PAB，
所以PE⊥平面ABCD，
因為AD?平面ABCD，
所以PE⊥AD；
（2）依題意，有CA=CB，點E是棱AB的中點，
所以CE⊥AB，
由（1）可得PE⊥AB，
所以AB⊥平面PEC，
又因為AB?平面PAB，
所以平面PAB⊥平面PEC．

點評 本題考查空間線面垂直和面面垂直的判定和性質(zhì)的運用，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題．