Question

19．已知點(diǎn)M（-$\sqrt{3}$，0），N（$\sqrt{3}$，0），若橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{a}$+y²=1存在點(diǎn)P使|PM|-|PN|=2$\sqrt{2}$，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，1）
• B． （1，+∞）
• C． [2，+∞）
• D． [$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 由已知得橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{a}$+y²=1與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{2}-{y}^{2}$=1（x≥$\sqrt{2}$）有交點(diǎn)，由此能求出結(jié)果．

解答 解：∵M(jìn)（-$\sqrt{3}$，0），N（$\sqrt{3}$，0），橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{a}$+y²=1存在點(diǎn)P使|PM|-|PN|=2$\sqrt{2}$，
∴橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{a}$+y²=1與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{2}-{y}^{2}$=1（x≥$\sqrt{2}$）有交點(diǎn)，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}=1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}-{y}^{2}=1，（x≥\sqrt{2}）}\end{array}\right.$，得x²=$\frac{4{a}^{2}}{2+{a}^{2}}$，
∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{a}$+y²=1與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{2}-{y}^{2}$=1（x≥$\sqrt{2}$）有交點(diǎn)，
∴x²=$\frac{4{a}^{2}}{2+{a}^{2}}$≥2，解得a$≥\sqrt{2}$，
∴a的取值范圍是[$\sqrt{2}，+∞$）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意雙曲線、橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．