Question

11．已知圓O：x²+y²=9及點(diǎn)C（2，1）．
（1）若線段OC的垂直平分線交圓O于A，B兩點(diǎn)，試判斷四邊形OACB的形狀，并給予證明；
（2）過(guò)點(diǎn)C的直線l與圓O交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）OC的中點(diǎn)為（1，$\frac{1}{2}$），設(shè)OC的垂直平分線為y=-2x+$\frac{5}{2}$，代入圓x²+y²=9，得$5{x}^{2}-10x-\frac{11}{4}$=0，由韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到AB的中點(diǎn)為（1，$\frac{1}{2}$），再由OC⊥AB，推導(dǎo)出四邊形OACB為菱形．
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，S_△OPQ=2$\sqrt{5}$，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y-1=k（x-2），（k$≠\frac{1}{2}$），圓心到直線PQ的距離為d=$\frac{|1-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，由平面幾何知識(shí)得|PQ|=2$\sqrt{9-2ifxfxp^{2}}$，推導(dǎo)出當(dāng)且僅當(dāng)d²=$\frac{9}{2}$時(shí)，S_△OPQ取得最大值$\frac{9}{2}$，由此能求出直線l的方程．

解答 解：（1）四邊形OACB為菱形，證明如下：
OC的中點(diǎn)為（1，$\frac{1}{2}$），設(shè)A（x₁，y₁），B（${{x}_{2}}^{\;}$，y₂），
設(shè)OC的垂直平分線為y=-2x+$\frac{5}{2}$，代入圓x²+y²=9，得$5{x}^{2}-10x-\frac{11}{4}$=0，
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=1$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=-2×$1+\frac{5}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴AB的中點(diǎn)為（1，$\frac{1}{2}$），
∴四邊形OACB為平行四邊形，
又OC⊥AB，∴四邊形OACB為菱形．
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x=2，則P、Q的坐標(biāo)為（2，$\sqrt{5}$），（2，-$\sqrt{5}$），
∴S_△OPQ=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{5}$=2$\sqrt{5}$，
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y-1=k（x-2），（k$≠\frac{1}{2}$），
則圓心到直線PQ的距離為d=$\frac{|1-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
由平面幾何知識(shí)得|PQ|=2$\sqrt{9-uc65iad^{2}}$，
∴S_△OPQ=$\frac{1}{2}×|PQ|×d$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{9-5ah0j62^{2}}$d=$\sqrt{（9-unfce7g^{2}）xkw5y87^{2}}$≤$\sqrt{（\frac{9-i7aizwo^{2}+4s6qnfw^{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{9}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)9-d²=d²，即d²=$\frac{9}{2}$時(shí)，S_△OPQ取得最大值$\frac{9}{2}$，
∵$2\sqrt{5}＜\frac{9}{2}$，∴S_△OPQ的最大值為$\frac{9}{2}$，
此時(shí)，由$\frac{4{k}^{2}-4k+1}{{k}^{2}+1}$=$\frac{9}{2}$，解得k=-7或k=-1．
此時(shí)，直線l的方程為x+y-3=0或7x+y-15=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形形狀的判斷及證明，考查△OPQ的面積最大時(shí)直線l的方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理、均值定理的合理運(yùn)用．