3.設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=$\frac{1}{2}$,an+1=an2+an+1(n∈N*).
(1)證明:$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$≥3;
(2)設(shè)數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和為Sn,證明:Sn<3.

分析 (1)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=$\frac{1}{2}$,an+1=an2+an+1(n∈N*).可得an>0,變形$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=an+$\frac{1}{{a}_{n}}$+1,利用基本不等式的性質(zhì)即可證明;
(2)由(1)可得an$≤\frac{1}{3}$an+1.可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$$≤\frac{1}{3}•\frac{1}{{a}_{n}}$.可得當(dāng)n≥2時(shí),$\frac{1}{{a}_{n}}$$≤\frac{1}{3}•\frac{1}{{a}_{n-1}}$≤$(\frac{1}{3})^{2}•\frac{1}{{a}_{n-2}}$≤…≤$(\frac{1}{3})^{n-1}$$•\frac{1}{{a}_{1}}$=2$•(\frac{1}{3})^{n-1}$.即可證明.

解答 證明:(1)∵數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=$\frac{1}{2}$,an+1=an2+an+1(n∈N*).
∴an>0,
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=an+$\frac{1}{{a}_{n}}$+1≥$2\sqrt{{a}_{n}•\frac{1}{{a}_{n}}}$+1=3,當(dāng)且僅當(dāng)an=1時(shí)取等號(hào),
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$≥3.
(2)由(1)可得an$≤\frac{1}{3}$an+1
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$$≤\frac{1}{3}•\frac{1}{{a}_{n}}$.
∴當(dāng)n≥2時(shí),$\frac{1}{{a}_{n}}$$≤\frac{1}{3}•\frac{1}{{a}_{n-1}}$≤$(\frac{1}{3})^{2}•\frac{1}{{a}_{n-2}}$≤…≤$(\frac{1}{3})^{n-1}$$•\frac{1}{{a}_{1}}$=2$•(\frac{1}{3})^{n-1}$.
∴Sn≤2$[1+\frac{1}{3}+(\frac{1}{3})^{2}+…+(\frac{1}{3})^{n-1}]$=2×$\frac{1-(\frac{1}{3})^{n}}{1-\frac{1}{3}}$=3.
∵an≠1,
∴Sn<3.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、基本不等式的性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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