Question

4．已知函數(shù)f（x）滿足對(duì)任意x∈R都有f（x）+f（-x）=0，且在（-∞，0]上的圖象如圖所示，則關(guān)于x的不等式$\frac{f（x）-f（-x）}{x}$＜0的解集為（　�。�

• A． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• B． （-2，0）∪（2，+∞）
• C． （-2，2）
• D． （-∞，-2）∪（0，2）

Answer 1

分析 由題意，函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，f（2）=0，關(guān)于x的不等式$\frac{f（x）-f（-x）}{x}$＜0，等價(jià)于xf（x）＜0，可得$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$，即可求出關(guān)于x的不等式$\frac{f（x）-f（-x）}{x}$＜0的解集．

解答 解：由題意，函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，f（2）=0，
關(guān)于x的不等式$\frac{f（x）-f（-x）}{x}$＜0，等價(jià)于xf（x）＜0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$，
∴x＞2或x＜-2，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求關(guān)于x的不等式$\frac{f（x）-f（-x）}{x}$＜0的解集，考查函數(shù)的奇偶性，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．