Question

12．已知函數(shù)f（x）=ax²-ax-1（a∈R）．
（1）若對任意實數(shù)x，f（x）＜0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當a＞0時，解關(guān)于x的不等式f（x）＜2x-3．

Answer 1

分析 （1）對a討論，分a=0，a＜0，判別式小于0；a＞0，解不等式，求交集即可得到所求范圍；
（2）先將不等式ax²-（a+2）x+2＜0化為（x-1）（ax-2）＜0，再對參數(shù)a的取值范圍進行討論，分類解不等式．

解答 解：（1）對任意實數(shù)x，f（x）＜0恒成立，
即有a=0時，-1＜0恒成立；
a＜0時，判別式小于0，即為a²+4a＜0，解得-4＜a＜0；
a＞0時，不等式不恒成立．
綜上可得，a的范圍是（-4，0]；
（2）由題意可得ax²-（2+a）x+2＜0，
可化為（x-1）（ax-2）＜0，a＞0，
1⁰當0＜a＜2時，∴$\frac{2}{a}$＞1，其解集為（1，$\frac{2}{a}$）；
2⁰當a=2時，即$\frac{2}{a}$=1，其解集為∅，
3⁰當a＞2，即$\frac{2}{a}$＜1，其解集為（$\frac{2}{a}$，1）．

點評 本題考查二次不等式恒成立問題的解法和含參二次不等式的解法，解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化和對參數(shù)的范圍進行分類討論，分類解不等式，解答此類題時要嚴謹，避免考慮不完善出錯．