Question

已知由不等式組

x≤0 y≥0 y-kx≤2 y-x-4≤0

，確定的平面區(qū)域Ω的面積為7，定點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-2），若N∈Ω，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則

OM

•

ON

的最小值是（　�。�

• A、-8
• B、-7
• C、-6
• D、-4

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

專題：數(shù)形結(jié)合,不等式的解法及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用

分析：首先作出不等式組

x≤0 y≥0 y-x-4≤0

所表示的平面區(qū)域，然后根據(jù)直線y=kx+2恒過點(diǎn)B（0，2），且原點(diǎn)的坐標(biāo)恒滿足y-kx≤2，當(dāng)k=0時(shí)，y≤2，此時(shí)平面區(qū)域Ω的面積為6，由于6＜7，由此可得k＜0．聯(lián)立方程組求出D的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式求得k的值，最后把

OM

•

ON

轉(zhuǎn)化為線性目標(biāo)函數(shù)解決．

解答： 解：依題意畫出不等式組

x≤0 y≥0 y-x-4≤0

所表示的平面區(qū)域（如右圖所示）
可知其圍成的區(qū)域是等腰直角三角形面積為8，
由直線y=kx+2恒過點(diǎn)B（0，2），且原點(diǎn)的坐標(biāo)恒滿足y-kx≤2，
當(dāng)k=0時(shí)，y≤2，此時(shí)平面區(qū)域Ω的面積為6，
由于6＜7，由此可得k＜0．
由

y-kx=2 y-x-4=0

可得D(

2

k-1

，

4k-2

k-1

)，
依題意應(yīng)有

1

2

×2×|

2

k-1

|=1，因此k=-1（k=3，舍去）．
故有D（-1，3），
設(shè)N（x，y），
由z=

OM

•

ON

=x-2y，可化為y=

1

2

x-

1

2

z，
∵

1

2

＜1，
∴當(dāng)直線y=

1

2

x-

1

2

z過點(diǎn)D時(shí)，截距-

1

2

z最大，即z取得最小值-7．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查了平面向量的數(shù)量積的運(yùn)用，是中檔題．