4.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且sinA+sinB=2sinC,a=2b.
(Ⅰ)求cos(π-A)的值;
(Ⅱ)若S△ABC=$\frac{{4\sqrt{15}}}{3}$,求c的值.

分析 (Ⅰ)由正弦定理化簡已知等式得a+b=2c,聯(lián)立a=2b,可得$b=\frac{2}{3}c$,由余弦定理可求cosA,利用誘導(dǎo)公式可求cos(π-A)的值.
(Ⅱ)由$cosA=-\frac{1}{4}$,得$sinA=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$,利用三角形面積公式可解得c的值.

解答 (本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)∵sinA+sinB=2sinC,由正弦定理得a+b=2c,(2分)
又a=2b,可得$b=\frac{2}{3}c$,(3分).
∴$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{{\frac{4}{9}{c^2}+{c^2}-\frac{16}{9}{c^2}}}{{2×\frac{2}{3}{c^2}}}=-\frac{1}{4}$,(5分)
∴$cos(π-A)=-cosA=\frac{1}{4}$.(7分)
(Ⅱ)由$cosA=-\frac{1}{4}$,得$sinA=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$,(8分)
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}{c^2}×\frac{{\sqrt{15}}}{4}=\frac{{\sqrt{15}}}{12}{c^2}$,(10分)
∴$\frac{{\sqrt{15}}}{12}{c^2}=\frac{{4\sqrt{15}}}{3}$,解得c=4.(12分)

點評 本題主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形面積公式,誘導(dǎo)公式,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的綜合應(yīng)用,考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.

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