Question

14．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為θ，且滿足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=1，（$\overline{a}$-2$\overline{c}$）•（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）=0．，則θ=$\frac{π}{3}$，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$|的最小值是$\frac{\sqrt{7}-1}{2}$．

Answer 1

分析 代入向量的夾角公式計算夾角，由（$\overline{a}$-2$\overline{c}$）•（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）=0得（$\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow-\overrightarrow{c}$）=0．作出圖形，得出$\overrightarrow{c}$的終點的軌跡，利用平面幾何知識得出結(jié)論．

解答 解：cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$=$\frac{1}{2}$，∴θ=$\frac{π}{3}$．
∵（$\overline{a}$-2$\overline{c}$）•（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）=0．∴（$\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow-\overrightarrow{c}$）=0．
設(shè)$\overrightarrow{a}$=（2，0），$\overrightarrow$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），A=（2，0），B（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），C（1，0），$\overrightarrow{c}$的終點為M，則BM⊥CM，
∴點M在以BC為直徑的圓D上，∴|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$|的最小值為AD-$\frac{BC}{2}$=$\frac{\sqrt{7}-1}{2}$．
故答案為$\frac{π}{3}$，$\frac{\sqrt{7}-1}{2}$．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算及幾何意義，作出圖形找到$\overrightarrow{c}$的終點軌跡是關(guān)鍵．