Question

19．設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n滿足$2S_n^2-（3{n^2}-n-4）{S_n}$-2（3n²-n）=0，n∈N^*．則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是（　�。�

• A． a_n=3n-2
• B． a_n=4n-3
• C． a_n=2n-1
• D． a_n=2n+1

Answer 1

分析 由滿足$2S_n^2-（3{n^2}-n-4）{S_n}$-2（3n²-n）=0，n∈N^*．變形為：$[2{S}_{n}-（3{n}^{2}-n）]$（S_n+2）=0．已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，可得2S_n=3n²-n，利用遞推關(guān)系即可得出．

解答 解：由滿足$2S_n^2-（3{n^2}-n-4）{S_n}$-2（3n²-n）=0，n∈N^*．
因式分解可得：$[2{S}_{n}-（3{n}^{2}-n）]$（S_n+2）=0，
∵數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，
∴2S_n=3n²-n，
當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=3-1，解得a₁=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，2a_n=2S_n-2S_n-1=3n²-n-2[3（n-1）²-（n-1）]=3n-2，
當(dāng)n=1時(shí)，上式成立．
∴a_n=3n-2．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、因式分解方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．