Question

17．已知拋物線C₁的頂點是雙曲線C₂：x²-4ky²=4的中心，而焦點是雙曲線的左頂點，
（1）當(dāng)k=1時，求拋物線C₁的方程；
（2）若雙曲線的離心率e=$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，求雙曲線的漸近線方程和準(zhǔn)線的方程．

Answer 1

分析 （1）把雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得左頂點，即可得到拋物線的基焦點及其p，即可得出拋物線的方程；
（2）由${a^2}=4，{b^2}=\frac{1}{k}$，${c^2}=4+\frac{1}{k}$，利用離心率計算公式可得k，即可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、漸近線方程與準(zhǔn)線方程．

解答 解 （1）k=1，
可得：${C_2}：\frac{x^2}{4}-{y^2}=1$，
∴a=2，
∴F₁（-2，0）
設(shè)拋物線C₁的方程為y²=-2px（p＞0），
則$\frac{p}{2}=2$，∴p=4，
∴y²=-8x．
（2）由${a^2}=4，{b^2}=\frac{1}{k}$，
∴${c^2}=4+\frac{1}{k}$，
∴$\frac{c^2}{a^2}=\frac{3}{2}$，
∴$\frac{{4+\frac{1}{k}}}{4}=\frac{3}{2}$，
解得$k=\frac{1}{2}$，
∴${C_2}：\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1$．
∴漸近線方程為$y=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$，
準(zhǔn)線方程為$x=±\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$．

點評 本題考查了拋物線與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、離心率漸近線及其準(zhǔn)線方程，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．