Question

3．己知拋物線C₁：x²=4y的焦點F，過點F的直線L與C₁相交于AB兩點，與C₂：$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}$=1相交于C，D兩點，且$\overrightarrow{AC}$與$\overrightarrow{BD}$同向．
（1）若丨AC丨=丨BD丨，求直線L的斜率．
（2）設(shè)C₁在點A處的切線與x軸的交點為M，證明：直線l繞點F旋轉(zhuǎn)時，△MFD總是鈍角三角形．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出點的坐標(biāo)，根據(jù)向量的關(guān)系，得到（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（x₃+x₄）²-4x₃x₄，設(shè)直線l的方程，分別與C₁，C₂構(gòu)成方程組，利用韋達(dá)定理，分別代入得到關(guān)于k的方程，解得即可；
（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到C₁在點A處的切線方程，求出點M的坐標(biāo)，利用向量的乘積∠AFM是銳角，問題得以證明．

解答 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
因為$\overrightarrow{AC}$與$\overrightarrow{BD}$同向，且|AC|=|BD|，
所以$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{BD}$，
從而x₃-x₁=x₄-x₂，即x₁-x₂=x₃-x₄，于是
（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（x₃+x₄）²-4x₃x₄，③
設(shè)直線的斜率為k，則l的方程為y=kx+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，得x²-4kx-4=0，而x₁，x₂是這個方程的兩根，
所以x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，④
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$，得（9+8k²）x²+16kx-64=0，而x₃，x₄是這個方程的兩根，
所以x₃+x₄=-$\frac{16k}{9+8{k}^{2}}$，x₃x₄=-$\frac{64}{9+8{k}^{2}}$，⑤
將④⑤代入③，得16（k²+1）=（-$\frac{16k}{9+8{k}^{2}}$）²+4×$\frac{64}{9+8{k}^{2}}$，
所以（9+8k²）²=16×9，
解得k=±$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
（2）由x²=4y得y′=$\frac{1}{2}$x，
所以C₁在點A處的切線方程為y-y₁=$\frac{1}{2}$x₁（x-x₁），
即y=$\frac{1}{2}$x₁x-$\frac{1}{4}$x₁²，
令y=0，得x=$\frac{1}{2}$x₁，
M（$\frac{1}{2}$x₁，0），
所以$\overrightarrow{FM}$=（$\frac{1}{2}$x₁，-1），
而$\overrightarrow{FA}$=（x₁，y₁-1），
于是$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FA}$=$\frac{1}{2}$x₁²-y₁+1=$\frac{1}{4}$x₁²+1＞0，
因此∠AFM是銳角，從而∠MFD=180°-∠AFM是鈍角，
故直線l繞點F旋轉(zhuǎn)時，△MFD總是鈍角三角形．

點評 本題考查了圓錐曲線的和直線的位置與關(guān)系，關(guān)鍵是聯(lián)立方程，構(gòu)造方程，利用韋達(dá)定理，以及向量的關(guān)系，得到關(guān)于k的方程，計算量大，屬于難題．