Question

1．設函數(shù)f（n）=$\left\{\begin{array}{l}{n，n為奇數(shù)}\\{f（\frac{n}{2}），n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，a_n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2ⁿ），
（1）求a₁，a₂，a₃的值
（2）設b_n=a_n+1-a_n，寫出b_n與b_n+1的遞推關系，并求{b_n}的通項公式．
（3）設數(shù)列{c_n}的通項公式為c_n=log₂（3a_n-2）-10，n∈N^*，數(shù)列{c_n}的前n項和為S_n，
問1000是否為數(shù)列{c_n•S_n}中的項？若是，求出相應的項數(shù)，若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)f（n），結合a_n，可得a₁，a₂，a₃；
（2）由題意，得a_n+1=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2ⁿ）+f（2ⁿ+1）+…+f（2ⁿ⁺¹），作差，得a_n+1-a_n，由函數(shù)解析式結合等差數(shù)列的求和公式計算可求得結果；
（3）由a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1），運用等比數(shù)列的求和公式可得a_n，c_n，再由等差數(shù)列的求和公式，再由c_n•S_n，即可判斷1000是否在其中．

解答 解：（1）由函數(shù)f（n）=$\left\{\begin{array}{l}{n，n為奇數(shù)}\\{f（\frac{n}{2}），n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，
a_n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2ⁿ），得
a₁=f（1）+f（2）=1+f（1）=2；
a₂=f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=1+1+3+f（2）=5+1=6；
a₃=f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）+f（8）=1+1+3+1+5+3+7+1=22；
（2）由a_n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2ⁿ），
可得a_n+1=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2ⁿ）+f（2ⁿ+1）+…+f（2ⁿ⁺¹），
則有b_n=a_n+1-a_n=f（2ⁿ+1）+…+f（2ⁿ⁺¹）
=（2ⁿ+1）+（2^n-1+1）+（2ⁿ+3）+（2^n-2+1）+（2ⁿ+5）+（2^n-1+3）+…+1
=1+3+5+…+（2ⁿ+1）+…+（2ⁿ⁺¹-1）=$\frac{1}{2}$（1+2ⁿ⁺¹-1）•2ⁿ
=4ⁿ．
即有b_n+1=4b_n，且b_n=4ⁿ；
（3）由a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=2+4+16+..+4^n-1=2+$\frac{4（1-{4}^{n-1}）}{1-4}$=$\frac{{4}^{n}+2}{3}$，
即有c_n=log₂（3a_n-2）-10=2n-10，
S_n=$\frac{1}{2}$n（c₁+c_n）=$\frac{1}{2}$n（2n-18）=n（n-9），
即有c_n•S_n=2n（n-5）（n-9），
當n≤13時，c_n•S_n≤c₁₃•S₁₃=832＜1000，
當n≥13時，c_n•S_n≥c₁₄•S₁₄=1260＞1000，
故1000不是{c_n•S_n}中的項．

點評 本題考查了分段函數(shù)與數(shù)列通項公式的綜合應用，主要考查分段函數(shù)的意義和等差數(shù)列的求和公式，以及累加法求數(shù)列的通項，考查運算能力，屬于中檔題．