Question

12．對于拋物線C，設(shè)直線l過C的焦點(diǎn)F，且l與C的對稱軸的夾角為$\frac{π}{4}$．若l被C所截得的弦長為4，則拋物線C的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)拋物線方程為y²=2px（p＞0），得出直線l的方程，聯(lián)立方程組得出根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長公式列方程解出p．則焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為$\frac{p}{2}$．

解答 解：不妨設(shè)拋物線方程為y²=2px（p＞0），則拋物線的焦點(diǎn)F（$\frac{p}{2}$，0），則直線l的方程為y=x-$\frac{p}{2}$．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{y=x-\frac{p}{2}}\end{array}\right.$，消元得y²-2py-p²=0．
∴y₁+y₂=2p，y₁y₂=-p²．
∴直線l被拋物線解得弦長為$\sqrt{2}$$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=4．
∴$\sqrt{2}$$\sqrt{4{p}^{2}+4{p}^{2}}$=4，解得p=1．
∴F（$\frac{1}{2}$，0）．即拋物線C的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線的性質(zhì)，弦長公式，屬于中檔題．