Question

12．下列命題中錯(cuò)誤的是（　　）

• A． 存在定義在[-1，1]上的函數(shù)f（x）使得對任意實(shí)數(shù)y有等式f（cosy）=cos2y成立
• B． 存在定義在[-1，1]上的函數(shù)f（x）使得對任意實(shí)數(shù)y有等式f（siny）=sin2y成立
• C． 存在定義在[-1，1]上的函數(shù)f（x）使得對任意實(shí)數(shù)y有等式f（cosy）=cos3y成立
• D． 存在定義在[-1，1]上的函數(shù)f（x）使得對任意實(shí)數(shù)y有等式f（siny）=sin3y成立

Answer 1

分析 利用二倍角公式、三倍角公式，函數(shù)的定義，判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論．

解答 解：令x=cosy∈[-1，1]，
則對任意實(shí)數(shù)y，有等式f（cosy）=cos2y成立，即f（x）=2x²-1成立，故A成立．
令t=siny∈[-1，1]，則對任意實(shí)數(shù)y，有等式f（siny）=sin2y=2sinycosy=2t•（±$\sqrt{{1-t}^{2}}$）成立，
即f（x）=2•（±$\sqrt{{1-t}^{2}}$）成立，顯然一個(gè)x對應(yīng)了2個(gè)y值，不是函數(shù)，故B錯(cuò)誤．
對任意實(shí)數(shù)y有等式f（cosy）=cos3y=4cos³y-3cosy 成立，即f（x）=4x³-3x成立，故C成立．
則對任意實(shí)數(shù)y，有等式f（sin3y）=sin3y=3siny-4sin³y 成立，即f（t）=3t-4t³成立，故D成立，
故選：B．

點(diǎn)評 本題主要考查二倍角公式、三倍角公式，函數(shù)的定義，屬于中檔題．