Question

13．如圖，四邊形ABCD與A′ABB′都是邊長為a的正方形，點(diǎn)E是A′A的中點(diǎn)，AA′⊥平面ABCD．
（1）求證：A′C∥平面BDE；
（2）求體積V_A′-ABCD與V_E-ABD的比值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)BD交AC于M，連接ME．利用正方形的性質(zhì)可得：M為AC中點(diǎn)，利用三角形的中位線定理可得：ME∥A′C．利用線面平行的判定定理即可證明．
（2）V_E-ABD=$\frac{1}{3}×AE×{S}_{△ABD}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}A{A}^{′}×\frac{1}{2}{S}_{四邊形ABCD}$=$\frac{1}{4}×\frac{1}{3}A{A}^{′}×{S}_{四邊形ABCD}$=$\frac{1}{4}$V_A′-ABCD，即可得出．

解答 （1）證明：設(shè)BD交AC于M，連接ME．
∵ABCD為正方形，∴M為AC中點(diǎn)，
又∵E為A′A的中點(diǎn)，
∴ME為△A′AC的中位線，
∴ME∥A′C．
又∵M(jìn)E?平面BDE，A′C?平面BDE，
∴A′C∥平面BDE．
（2）解：∵V_E-ABD=$\frac{1}{3}×AE×{S}_{△ABD}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}A{A}^{′}×\frac{1}{2}{S}_{四邊形ABCD}$=$\frac{1}{4}×\frac{1}{3}A{A}^{′}×{S}_{四邊形ABCD}$=$\frac{1}{4}$V_A′-ABCD．
∴V_A′-ABCD：V_E-ABD=4：1．

點(diǎn)評 本題考查了線面平行與垂直的判定與性質(zhì)定理、三角形中位線定理、三棱錐的體積計(jì)算公式，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．