Question

10．已知直線l：（3+t）x-（t+1）y-4=0（t為參數(shù)）和圓C：x²+y²-6x-8y+16=0：
（1）t∈R時，證明直線l與圓C總相交：
（2）直線l被圓C截得弦長最短，求此弦長并求此時t的值．

Answer 1

分析 （1）直線l：（3+t）x-（t+1）y-4=0可化為t（x-y）+（3x-y-4）=0，解方程組$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{3x-y-4=0}\end{array}\right.$，可得直線l恒過定點，即可得出結(jié)論；
（2）直線l被圓C截得的弦長的最小時，弦心距最大，此時CA⊥l，求出CA的斜率，可得l的斜率，從而可求t的值，求出弦心距，可得直線l被圓C截得的弦長的最小值．

解答 （1）證明：直線l：（3+t）x-（t+1）y-4=0可化為t（x-y）+（3x-y-4）=0
令$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{3x-y-4=0}\end{array}\right.$，解得x=y=2
∴直線l恒過定點A（2，2），
（2，2），代入可得2²+2²-12-16+16＜0，
∴t∈R時，證明直線l與圓C總相交
（2）解：直線l被圓C截得的弦長的最小時，弦心距最大，此時CA⊥l
∵圓C：（x-3）²+（y-4）²=9，圓心C（3，4），半徑為3
∴CA的斜率為2，
∴l(xiāng)的斜率為-$\frac{1}{2}$
∵直線l：（3+t）x-（t+1）y-4=0的斜率為$\frac{3+t}{t+1}$
∴$\frac{3+t}{t+1}$=-$\frac{1}{2}$
∴t=-$\frac{7}{3}$
∵|CA|=$\sqrt{1+4}$=$\sqrt{5}$
∴直線l被圓C截得的弦長的最小值為2$\sqrt{9-5}$=4．

點評 本題考查直線恒過定點，考查弦長的計算，解題的關鍵是掌握圓的特殊性，屬于中檔題．