Question

12．已知底面為正三角形，高為4的正三棱柱的外接球的表面積為32π，則該正三棱柱的體積為12$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 過球心O作棱柱底面的垂線，由勾股定理計算底面中心到頂點的距離，根據(jù)正三角形的性質(zhì)得出底面邊長．

解答 解：∵外接球的表面積為32π，∴外接球的半徑為2$\sqrt{2}$．
過球心O作底面ABC的垂線OD，則D為正三角形ABC的中心，且OD=2，
連結(jié)OA，則OA=2$\sqrt{2}$，∴AD=$\sqrt{O{A}^{2}-O{D}^{2}}$=2．
∵AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB×$\frac{2}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}AB$，∴AB=2$\sqrt{3}$．
∴正三棱柱的體積V=$\frac{\sqrt{3}}{4}×（2\sqrt{3}）^{2}×4$=12$\sqrt{3}$．
故答案為：12$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了棱柱與外接球的關系，棱柱的結(jié)構(gòu)特征，體積計算，屬于基礎題．