Question

12．已知定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)f（x）滿足f（2）=0，且在（-∞，0）上是增函數(shù)；又定義行列式|$\begin{array}{l}{{a}_{1}}&{{a}_{2}}\\{{a}_{3}}&{{a}_{4}}\end{array}$|=a₁a₄-a₂a₃； 函數(shù)g（θ）=|$\begin{array}{l}{sinθ}&{3-cosθ}\\{m}&{sinθ}\end{array}$|（其中0≤θ≤$\frac{π}{2}$）．
（1）證明：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上也是增函數(shù)；
（2）若函數(shù)g（θ）的最大值為4，求m的值；
（3）若記集合M={m|任意的0≤θ≤$\frac{π}{2}$，g（θ）＞0}，N={m|任意的0≤θ≤$\frac{π}{2}$，f[g（θ）]＜0}，求M∩N．

Answer 1

分析 （1）利用定義法能證明函數(shù)f（x）在（0，+∞）上也是增函數(shù)．
（2）由已知可判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，由定義表示出g（θ），根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論可表示出其最大值，令其為4可求m值；
（3）由f[g（θ）]＜0，得g（θ）＜-2，或2＞g（θ）＞0，則M={m|恒有g(shù)（θ）＞0}，N={m|恒有f[g（θ）]＜0}={m|恒有g(shù)（θ）＜-2，或2＞g（θ）＞0}，從而M∩N={m|恒有0＜g（θ）＜2}，轉(zhuǎn)化為不等式0＜-cos²θ+mcosθ-3m+1＜2在θ∈[0，$\frac{π}{2}$]恒成立，分離出參數(shù)m后，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值即可，變形后借助“對勾函數(shù)”的性質(zhì)可求得最值；

解答 證明：（1）在（0，+∞）上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，
∵定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)f（x）滿足f（2）=0，且在（-∞，0）上是增函數(shù)，
∴f（x₁）-f（x₂）=-f（-x₁）+f（-x₂）=f（-x₂）-f（-x₁）＜0，
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上也是增函數(shù)．
解：（2）g（θ）=|$\begin{array}{l}{sinθ}&{3-cosθ}\\{m}&{sinθ}\end{array}$|
=sin²θ+mcosθ-3m
=1-cos²θ+mcosθ-3m，
=-（cosθ-$\frac{m}{2}$）²+$\frac{{m}^{2}}{4}-3m+1$，
∵函數(shù)g（θ）的最大值為4，f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)，又f（x）是奇函數(shù)，
∴f（x）在（0，+∞）也是增函數(shù)，
∵θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴cosθ∈[0，1]，
g（θ）的最大值只可能在cosθ=0（$\frac{m}{2}≤0$），cosθ=1（$\frac{m}{2}≥1$），cosθ=$\frac{m}{2}$（0＜$\frac{m}{2}＜1$）處取得，
若cosθ=0，g（θ）=4，則有1-3m=4，m=-1，此時(shí)$\frac{m}{2}=-\frac{1}{2}$，符合；
若cosθ=1，g（θ）=4，則有-2m=4，m=-2，此時(shí)$\frac{m}{2}=-1$，不符合；
若cosθ=$\frac{m}{2}$，g（θ）=4，則有$\frac{{m}^{2}}{4}-3m+1=4$，m=6+4$\sqrt{3}$或m=6-4$\sqrt{3}$，此時(shí)$\frac{m}{2}$=3+2$\sqrt{3}$或m=3-2$\sqrt{3}$，不符合；
綜上，m=-1．
（3）∵f（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)，且滿足f（2）=0，∴f（-2）=0，
又f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上均是增函數(shù)，
由f[g（θ）]＜0，得g（θ）＜-2，或2＞g（θ）＞0，
又M={m|恒有g(shù)（θ）＞0}，N={m|恒有f[g（θ）]＜0}={m|恒有g(shù)（θ）＜-2，或2＞g（θ）＞0}，
∴M∩N={m|恒有0＜g（θ）＜2}，即不等式0＜-cos²θ+mcosθ-3m+1＜2在θ∈[0，$\frac{π}{2}$]恒成立，
當(dāng)m＞$\frac{-1-co{s}^{2}θ}{3-cosθ}$=$\frac{-（3-cosθ）^{2}+6（3-cosθ）-10}{3-cosθ}$
=-（3-cosθ）-（$\frac{10}{3-cosθ}$）+6=-[（3-cosθ）+（$\frac{10}{3-cosθ}$）]+6，
∵θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴cosθ∈[0，1]，3-cosθ∈[2，3]，
∴7≥（3-cosθ）+（$\frac{10}{3-cosθ}$）$≥\frac{19}{3}$，-[（3-cosθ）+（$\frac{10}{3-cosθ}$）]+6∈[-1，-$\frac{1}{3}$]，
此時(shí)，m＞-$\frac{1}{3}$；
$\frac{π}{2}$=-（3-cosθ）-（$\frac{10}{3-cosθ}$）+6=-[（3-cosθ）+（$\frac{10}{3-cosθ}$）]+6，
∵θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴cosθ∈[0，1]，3-cosθ∈[2，3]，
∴7≥（3-cosθ）+（$\frac{10}{3-cosθ}$）$≥\frac{19}{3}$，-[（3-cosθ）+（$\frac{10}{3-cosθ}$）]+6∈[-1，-$\frac{1}{3}$]，
此時(shí)，m＞-$\frac{1}{3}$．
當(dāng)m＜$\frac{1-co{s}^{2}θ}{3-cosθ}$=$\frac{-（3-cosθ）^{2}+6（3-cosθ）-8}{3-cosθ}$
=-（3-cosθ）-（$\frac{8}{3-cosθ}$）+6
=-[（3-cosθ）+（$\frac{8}{3-cosθ}$）]+6，
∴6≥（3-cosθ）+（$\frac{8}{3-cosθ}$）$≥4\sqrt{2}$，-[（3-cosθ）+（$\frac{8}{3-cosθ}$）]+6∈[0，6-4$\sqrt{2}$]，
此時(shí)，m＜0；
綜上，m∈（-$\frac{1}{3}$，0）．  
∴M∩N=（-$\frac{1}{3}$，0）．

點(diǎn)評 本題考查增函數(shù)的證明，考查實(shí)數(shù)值的求法，考查交集的求法，綜合性強(qiáng)，難度大，對數(shù)學(xué)思維要求高，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二階行列式性質(zhì)、三角函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．