Question

8．已知三棱錐P-ABC中，△ABC為等邊三角形，PA=PB=PC，PA⊥PB，點P到平面ABC的距離為2$\sqrt{3}$，則三棱錐P-ABC的體積為36．

Answer 1

分析 設底面邊長為a，利用勾股定理計算棱錐的側棱長，根據勾股定理列方程解出a，再計算棱錐的體積．

解答 解：設P在底面ABC的投影為O，
∵PA=PB=PC，△ABC是等邊三角形，
∴O是△ABC的中心，
設△ABC的邊長為a，則BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，∴OB=$\frac{2}{3}BD$=$\frac{\sqrt{3}}{3}a$．
∴PB=$\sqrt{P{O}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{12+\frac{{a}^{2}}{3}}$．
∵PA⊥PB，∴PA²+PB²=AB²，
即12+$\frac{{a}^{2}}{3}$+12+$\frac{{a}^{2}}{3}$=a²，
解得a=6$\sqrt{2}$．
∴V_P-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•PO$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}×2\sqrt{3}=\frac{{a}^{2}}{2}$=36．
故答案為：36．

點評 本題考查了正三棱錐的結構特征和體積計算，屬于中檔題．