Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$ax²+2x-lnx，討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導數(shù)之間的關(guān)系進行判斷即可．

解答 解：函數(shù)的導數(shù)${f^'}（x）=\frac{{a{x^2}+2x-1}}{x}（x＞0）$
（1）當a＞0時，f′（x）＞0得$x＞\frac{{-1+\sqrt{1+a}}}{a}$，此時函數(shù)單調(diào)遞增，由f′（x）＜0得$0＜x＜\frac{{-1+\sqrt{1+a}}}{a}$，此時函數(shù)單調(diào)遞減．
（2）當a=0時，f′（x）＞0得$x＞\frac{1}{2}$，此時函數(shù)單調(diào)遞增，由f′（x）＜0得$0＜x＜\frac{1}{2}$，此時函數(shù)單調(diào)遞減．
（3）當-1＜a＜0時，f′（x）＞0得$\frac{{-1+\sqrt{1+a}}}{a}＜x＜\frac{{-1-\sqrt{1+a}}}{a}$，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0得$0＜x＜\frac{{-1+\sqrt{1+a}}}{a}$或$x＞\frac{{-1-\sqrt{1+a}}}{a}$，此時函數(shù)單調(diào)遞減．
（4）當a≤-1時，f′（x）≤0恒成立．此時函數(shù)單調(diào)遞減．

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關(guān)系解導數(shù)不等式是解決本題的關(guān)鍵．注意要對參數(shù)a進行分類討論．