Question

16．已知函數(shù)f（x）=log_a[（$\frac{1}{a}$-1）x+3]在區(qū)間[2，3]上的函數(shù)值小于1恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （0，1）∪（2，+∞）
• B． （0，1）
• C． （2，+∞）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)a的范圍討論f（x）的單調(diào)性，利用單調(diào)性求出f_max（x），令f_max（x）＜1解出a的范圍．

解答 解：令g（x）=（$\frac{1}{a}$-1）x+3，
（1）當(dāng)a＞1時，（$\frac{1}{a}$-1）＜0，∴g（x）是減函數(shù)，∴f（x）在[2，3]上是減函數(shù)，
∴f_max（x）=f（2）=log_a（$\frac{2}{a}+1$）＜1，即$\frac{2}{a}+1$＜a，解得a＞2．
（2）當(dāng)0＜a＜1時，（$\frac{1}{a}$-1）＞0，∴g（x）是增函數(shù)，∴f（x）在[2，3]上是減函數(shù)
∴f_max（x）=f（2）=log_a（$\frac{2}{a}+1$）＜1，即$\frac{2}{a}+1$＞a，解得0＜a＜1．
綜上，a的取值范圍是（2，+∞）∪（0，1）．
故選：A．

點評 本題考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與最值，函數(shù)恒成立問題，屬于中檔題．