Question

3．如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是棱DD₁、C₁D₁的中點．
（Ⅰ）證明：平面ADC₁B₁⊥平面A₁BE；
（Ⅱ）證明：B₁F∥平面A₁BE；
（Ⅲ）若正方體棱長為1，求四面體A₁-B₁BE的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正方體可得：B₁C₁⊥平面ABB₁A₁，B₁C₁⊥A₁B．又A₁B⊥AB₁，可得A₁B⊥平面ADC₁B₁，即可證明．
（Ⅱ）證明：連接EF，利用三角形中位線定理可得四邊形B₁OEF為平行四邊形．可得B₁F∥OE．即可證明B₁F∥平面A₁BE，
（Ⅲ）利用${V}_{{A}_{1}-{B}_{1}BE}$=${V}_{E-{A}_{1}{B}_{1}B}$=$\frac{1}{3}•{B}_{1}{C}_{1}•{S}_{△{A}_{1}{B}_{1}B}$即可得出．

解答 （Ⅰ）證明：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體，
∴B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；
∵A₁B?平面ABB₁A₁，
∴B₁C₁⊥A₁B．
又∵A₁B⊥AB₁，B₁C₁∩AB₁=B₁，
∴A₁B⊥平面ADC₁B₁，
∵A₁B?平面A₁BE，
∴平面ADC₁B₁⊥平面A₁BE；
（Ⅱ）證明：連接EF，EF∥$\frac{1}{2}{C}_{1}D$，且EF=$\frac{1}{2}{C}_{1}D$，
設AB₁∩A₁B=O，
則B₁O∥C₁D，且${B}_{1}O=\frac{1}{2}{C}_{1}D$，
∴EF∥B₁O，且EF=B₁O，
∴四邊形B₁OEF為平行四邊形．
∴B₁F∥OE．
又∵B₁F?平面A₁BE，OE?平面A₁BE，
∴B₁F∥平面A₁BE，
（Ⅲ）解：${V}_{{A}_{1}-{B}_{1}BE}$=${V}_{E-{A}_{1}{B}_{1}B}$=$\frac{1}{3}•{B}_{1}{C}_{1}•{S}_{△{A}_{1}{B}_{1}B}$=$\frac{1}{3}×1×\frac{1}{2}×{1}^{2}$=$\frac{1}{6}$．

點評 本題考查了正方體與正方形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)定理、線面面面垂直與平行的判定定理、三棱錐的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．