Question

9．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠BCD=135°，側(cè)面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=6，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，點(diǎn)M在線段PD上．
（Ⅰ）求證：EF⊥平面PAC； 
（Ⅱ）若M為PD的中點(diǎn)，求證：ME∥平面PAB；
（Ⅲ）當(dāng)$\frac{PM}{MD}=\frac{1}{2}$時(shí)，求四棱錐M-ECDF的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明AB⊥AC．得到EF⊥AC．證明PA⊥底面ABCD，可得PA⊥EF．然后證明EF⊥平面PAC．
（Ⅱ）證明MF∥PA，即可證明MF∥平面PAB，同理EF∥平面PAB．然后證明平面MEF∥平面PAB，得到ME∥平面PAB．
（Ⅲ）證明MN⊥底面ABCD，然后求解四棱錐M-ECDF的體積．

解答 （本小題滿分14分）
（Ⅰ）證明：在平行四邊形ABCD中，因?yàn)锳B=AC，∠BCD=135°，
∴∠ABC=45°，
所以AB⊥AC．
由E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，得EF∥AB，
所以EF⊥AC．…（1分）
因?yàn)閭?cè)面PAB⊥底面ABCD，且∠BAP=90°，
所以PA⊥底面ABCD．…（2分）
又因?yàn)镋F?底面ABCD，
所以PA⊥EF．…（3分）
又因?yàn)镻A∩AC=A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，
所以EF⊥平面PAC．…（5分）
（Ⅱ）證明：因?yàn)镸為PD的中點(diǎn)，F(xiàn)分別為AD的中點(diǎn)，
所以MF∥PA，
又因?yàn)镸F?平面PAB，PA?平面PAB，
所以MF∥平面PAB．…（7分）
同理，得EF∥平面PAB．
又因?yàn)镸F∩EF=F，MF?平面MEF，EF?平面MEF，
所以平面MEF∥平面PAB．…（9分）
又因?yàn)镸E?平面MEF，
所以ME∥平面PAB．…（10分）
（Ⅲ）解：在△PAD中，過M作MN∥PA交AD于點(diǎn)N（圖略），
由$\frac{PM}{MD}=\frac{1}{2}$，得$\frac{MN}{PA}=\frac{2}{3}$，
又因?yàn)镻A=6，
所以MN=4，…（12分）

因?yàn)镻A⊥底面ABCD，
所以MN⊥底面ABCD，
所以四棱錐M-ECDF的體積${V_{M-ECDF}}=\frac{1}{3}×{S_{平行四邊形ECDF}}×MN=\frac{1}{3}×\frac{6×6}{2}×4=24$．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直與平行的判定定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用，平面與平面平行的判定定理的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．