Question

4．如圖，A，B是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$的兩個(gè)頂點(diǎn)，|AB|=$\sqrt{7}$，橢圓離心率為$\frac{1}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l∥AB，且與x，y軸分別交于點(diǎn)M，N，與橢圓交于E，F(xiàn)，如圖所示，記△BEN與△AMF的面積分別為S₁與S₂，求$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得得a²+b²=7，且$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}{-b}^{2}}}{a}$=$\frac{1}{2}$，求得 a² 和b² 的值，可得 橢圓的方程．
（2）不妨假設(shè)直線l經(jīng)過原點(diǎn)，可得直線l的方程為 $\sqrt{3}$x+2y=0，求得E、F的坐標(biāo)，再根據(jù) M、N、O三點(diǎn)重合求得△BEN面積S₁=$\frac{1}{2}$•OB•|x_E|的值、△AMF的面積S₂=$\frac{1}{2}$•OA•|y_F|的值，即可求得 $\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的值．

解答 解：（1）根據(jù)A，B是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$的兩個(gè)頂點(diǎn)，|AB|=$\sqrt{7}$，
可得a²+b²=7．
再根據(jù)橢圓離心率為 $\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}{-b}^{2}}}{a}$=$\frac{1}{2}$，求得 a²=4，b²=3，
∴橢圓的方程為 $\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）由題意可得，要求的$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的值為定值，不妨假設(shè)直線l經(jīng)過原點(diǎn)，
則由（1）可得直線AB的方程為$\frac{x}{2}$+$\frac{y}{\sqrt{3}}$=1，即 $\sqrt{3}$x+2y-2$\sqrt{3}$=0，故此時(shí)直線l的方程為 $\sqrt{3}$x+2y=0．
再把直線l的方程代入橢圓的方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，求得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{2}}\\{y=\frac{\sqrt{6}}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}}\\{y=-\frac{\sqrt{6}}{2}}\end{array}\right.$，
∴E（-$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），F(xiàn)（$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$），M、N和點(diǎn)O重合．
∴△BEN面積S₁=$\frac{1}{2}$•OB•|x_E|=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{3}$•$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$；△AMF的面積S₂=$\frac{1}{2}$•OA•|y_F|=$\frac{1}{2}$•2•$\frac{\sqrt{6}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=1．

點(diǎn)評 本題主要考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于難題．