Question

7．已知等比數(shù)列{a_n}的公比q＞1，a₁=1，且a₁，a₃，a₂+14成等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}滿足：a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（n-1）•3ⁿ+1，n∈N．
（I）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若ma_n≥b_n-8恒成立，求實(shí)數(shù)m的最小值．

Answer 1

分析 （I）數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，解方程可得a_n=3^n-1，再將n換為n-1，兩式相減可得b_n=2n-1；
（2）若ma_n≥b_n-8恒成立，即為m≥$\frac{2n-9}{{3}^{n-1}}$的最大值，由c_n=$\frac{2n-9}{{3}^{n-1}}$，作差，判斷單調(diào)性，即可得到最大值，進(jìn)而得到m的最小值．

解答 解：（I）∵數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列，
∴a_n=q^n-1，
由a₁，a₃，a₂+14成等差數(shù)列，可得2a₃=a₁+a₂+14，
即為2q²=1+q+14，解得q=3（負(fù)的舍去），
即有a_n=3^n-1，
∴a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=b₁+3b₂+3²b₃+…+3^n-1b_n=（n-1）•3ⁿ+1，
∴b₁+3b₂+3²b₃+…+3^n-2b_n-1=（n-1-1）•3^n-1+1（n≥2），
兩式相減得：3^n-1b_n=（n-1）•3ⁿ-（n-2）•3^n-1=（2n-1）•3^n-1，
∴b_n=2n-1，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁b₁=1，
即b₁=1滿足上式，
∴數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式是b_n=2n-1；
（2）若ma_n≥b_n-8恒成立，即為m≥$\frac{2n-9}{{3}^{n-1}}$的最大值，
由c_n=$\frac{2n-9}{{3}^{n-1}}$，n≥2時(shí)，c_n-1=$\frac{2n-11}{{3}^{n-2}}$，
c_n-c_n-1=$\frac{2n-9}{{3}^{n-1}}$-$\frac{2n-11}{{3}^{n-2}}$=$\frac{24-4n}{{3}^{n-1}}$，
可得n=2，3，…，6時(shí)，c_n≥c_n-1；n=7，…時(shí)，c_n＜c_n-1．
即有n=5或6時(shí)，c_n取得最大值，且為$\frac{1}{81}$，
即為m≥$\frac{1}{81}$，可得m的最小值為$\frac{1}{81}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和數(shù)列的單調(diào)性，屬于中檔題．