Question

14．已知集合A={x|log₂（4x）•log₂x≤0}
（1）求集合A；
（2）求函數(shù)y=4^2x+1+4^x（x∈A）的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算法則把原不等式化為關(guān)于log₂x的二次不等式，求出log₂x的范圍，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性再求出x的取值范圍；
（2）令4^x=t，則將原函數(shù)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出它的最大值．

解答 解：（1）∵log₂（4x）•log₂x≤0，
∴（2+log₂x）•log₂x≤0，
解得-2≤log₂x≤0，
即$\frac{1}{4}$≤x≤1，
∴A={x|$\frac{1}{4}$≤x≤1}；
（2）設(shè)4^x=t，則t∈[$\sqrt{2}$，4]，
∴函數(shù)y=g（t）=4t²+t，且它的對(duì)稱軸為t=-$\frac{1}{8}$，
∴函數(shù)g（t）在[$\sqrt{2}$，4]上是單調(diào)增函數(shù)，
其最大值為y_max=g（4）=68．

點(diǎn)評(píng) 本題考查一元二次不等式的解法以及二次函數(shù)最值的求法，也考查了利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求不等式的解集以及換元法的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．