Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-$\frac{1}{2}$cos2x．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a=$\sqrt{2}$，b=1，f（$\frac{A}{2}$+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{3}$，求sinB的值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用兩角和差的三角公式，化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性求得f（x）的最小正周期．
（2）由f（$\frac{A}{2}$+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{3}$，求得cosA的值，可得sinA的值，再利用正弦定理求得sinB的值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-$\frac{1}{2}$cos2x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
故f（x）的最小正周期為T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）由f（$\frac{A}{2}$+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{3}$，得sin（A+$\frac{π}{2}$）=$\frac{1}{3}$，則 cosA=$\frac{1}{3}$，
在△ABC中，sinA=$\sqrt{{1-cos}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．         
又因為a=$\sqrt{2}$，b=1，由正弦定理可得sinB=$\frac{a}$sinA=$\frac{2}{3}$．

點評 本題主要考查兩角和差的三角公式，正弦函數(shù)的周期性，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，正弦定理的應用，屬于中檔題．