Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²+（a²-1）x+b（a，b∈R）
（Ⅰ）若x=1為f（x）的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）若y=f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x+y-3=0，求f（x）在區(qū)間[-1，4]上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出導(dǎo)數(shù)，由題意可得f′（1）=0，解方程可得a；
（Ⅱ）求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，解方程可得a，b，再由極值和區(qū)間[-1，4]的端點(diǎn)處的函數(shù)值，即可得到所求最大值．

解答 解：（Ⅰ）由已知得f′（x）=x²-2ax+a²-1，
∵x=1是f（x）的極值點(diǎn)，
∴f′（1）=0，即a²-2a=0．
解a=0，或2．
經(jīng)檢驗(yàn)合題意．故a=0或a=2；         
（Ⅱ）∵（1，f（1））是切點(diǎn)，
∴由切線方程x+y-3=0可得1+f（1）-3=0，即f（1）=2，
即$2=\frac{1}{3}-a+{a^2}-1+b，{a^2}-a+b-\frac{8}{3}=0$．
∵切線x+y-3=0的斜率為-1，
∴f′（1）=-1，即a²-2a+1=0，即a=1．
代入解得$b=\frac{8}{3}$．
∴$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}+\frac{8}{3}$．
∴f′（x）=x²-2x，∴x=0和x=2是y=f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)．
∵$f（0）=\frac{8}{3}，f（2）=\frac{4}{3}，f（-1）=\frac{4}{3}，f（4）=8$，
∴y=f（x）在[-1，4]上的最大值為8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．