Question

7．設t＞0，函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x＜t}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}x，x≥t}\end{array}\right.$的值域為M，若2∉M，則t的取值范圍是（$\frac{1}{4}$，1]．

Answer 1

分析 根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性便可求出函數(shù)f（x）的值域為M={f（x）|f（x）＜2^t，或f（x）$≤lo{g}_{\frac{1}{2}}t$}，從而由2∉M便可得到$2≥{2}^{t}，且2＞lo{g}_{\frac{1}{2}}t$，這樣便可解出t的取值范圍．

解答 解：①x＜t時，2^x＜2^t；
②x≥t時，$lo{g}_{\frac{1}{2}}x≤lo{g}_{\frac{1}{2}}t$；
∴f（x）的值域M={f（x）|f（x）＜2^t，或f（x）$≤lo{g}_{\frac{1}{2}}t$}；
∵2∉M；
∴2≥2^t，且$2＞lo{g}_{\frac{1}{2}}t$；
∴t≤1，且t$＞\frac{1}{4}$；
∴t的取值范圍為$（\frac{1}{4}，1]$．
故答案為：（$\frac{1}{4}$，1]．

點評 考查函數(shù)值域的概念，分段函數(shù)值域的求法，指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，元素與集合的關系，以及根據(jù)單調(diào)性定義解不等式．