Question

10．在極坐標系中，定點A（2，0），點B在直線$\sqrt{3}$ρcosθ+ρsinθ=0上運動，當線段AB最短時，點B的極坐標為（1，$\frac{5π}{3}$）．

Answer 1

分析 求出動點B在直線$\sqrt{3}$x+y=0上運動，當線段AB最短時，直線AB垂直于直線$\sqrt{3}$x+y=0，由此能求出點B的極坐標．

解答 解：∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入直線$\sqrt{3}$ρcosθ+ρsinθ=0，
可得$\sqrt{3}$x+y=0…①，
∵在極坐標系中，定點A（2，0），
∴在直角坐標系中，定點A（2，0），
∵動點B在直線$\sqrt{3}$x+y=0上運動，
∴當線段AB最短時，直線AB垂直于直線$\sqrt{3}$x+y=0，
∴k_AB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
設直線AB為：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-2），即x-$\sqrt{3}y$-2=0，…②，
聯立方程①②求得交點B（$\frac{1}{2}，-\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴ρ=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=1，tan$θ=\frac{y}{x}$=$\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}$=-$\sqrt{3}$，∴θ=$\frac{5π}{3}$．
∴點B的極坐標為（1，$\frac{5π}{3}$）．
故答案為：（1，$\frac{5π}{3}$）．

點評 本題考查點的極坐標的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意極坐標和直角坐標互化公式的合理運用．