Question

19．已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸的拋物線C過點(diǎn)（2，-2）．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若拋物線C與過點(diǎn)P（0，-1）的直線l相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線OA和OB的斜率之和為2，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意，可設(shè)拋物線方程為x²=-2py，點(diǎn)（2，-2）代入方程可得4=4p，即可求拋物線C的方程；
（2）由題意可得設(shè)直線l的方程為y=kx-1，聯(lián)立直線與拋物線的方程可得：x²+2kx-2=0，根據(jù)韋達(dá)定理可得答案．

解答 解：（1）由題意，可設(shè)拋物線方程為x²=-2py，
將點(diǎn)（2，-2）代入方程可得4=4p，即p=1…（2分）
所以拋物線的方程為x²=-2y．…（4分）
（2）顯然，直線l垂直于x軸不合題意，故可設(shè)所求的直線方程為y=kx-1，
代入拋物線方程化簡(jiǎn)，得：x²+2kx-2=0，…（6分）
其中△=4k²+8＞0，x₁+x₂=-2k，x₁x₂-2…（8分）
設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有$\frac{y_1}{x_1}+\frac{y_2}{x_2}=2$，①
因?yàn)閥₁=kx₁-1，y₂=kx₂-1，代入①，整理可得$2k-\frac{{{x_1}+{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=2$，
將x₁+x₂=-2k，x₁x₂-2代入，可得k=2，…（11分）
所以直線l的方程為y=2x-1．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)、直線的一般式方程、直線與拋物線的位置關(guān)系，以及方程思想，屬于中檔題．