Question

4．關于函數$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{1，x為有理數}\\{0，x為無理數}\end{array}}\right.$有以下四個命題：
①對于任意的x∈R，都有f（f（x））=1；
②函數f（x）是偶函數；
③若T為一個非零有理數，則f（x+T）=f（x）對任意x∈R恒成立；
④在f（x）圖象上存在三個點A，B，C，使得△ABC為等邊三角形．
其中正確命題的序號是①②③④．

Answer 1

分析 ①根據函數的對應法則，可得不管x是有理數還是無理數，均有f（f（x））=1；
②根據函數奇偶性的定義，可得f（x）是偶函數；
③根據函數的表達式，結合有理數和無理數的性質；
④取x₁=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，x₂=0，x₃=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得A（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），B（0，1），C（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），三點恰好構成等邊三角形．

解答 解：對于①，若x是有理數，則f（x）=1，則f（1）=1，若x是無理數，則f（x）=0，則f（0）=1，
即對于任意的x∈R，都有f（f（x））=1；故①正確，
對于②，∵有理數的相反數還是有理數，無理數的相反數還是無理數，
∴對任意x∈R，都有f（-x）=-f（x），則函數f（x）是偶函數，故②正確；
對于③，若x是有理數，則x+T也是有理數； 若x是無理數，則x+T也是無理數，
∴根據函數的表達式，任取一個不為零的有理數T，f（x+T）=f（x）對x∈R恒成立，故③正確；
對于④，取x₁=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，x₂=0，x₃=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得f（x₁）=0，f（x₂）=1，f（x₃）=0，
∴A（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），B（0，1），C（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），恰好△ABC為等邊三角形，故④正確．
故答案為：①②③④．

點評 本題主要考查命題的真假判斷，給出特殊函數表達式，求函數的值并討論它的奇偶性，著重考查了有理數、無理數的性質和函數的奇偶性等知識，屬于中檔題．