Question

4．關(guān)于函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{1，x為有理數(shù)}\\{0，x為無理數(shù)}\end{array}}\right.$有以下四個命題：
①對于任意的x∈R，都有f（f（x））=1；
②函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
③若T為一個非零有理數(shù)，則f（x+T）=f（x）對任意x∈R恒成立；
④在f（x）圖象上存在三個點A，B，C，使得△ABC為等邊三角形．
其中正確命題的序號是①②③④．

Answer 1

分析 ①根據(jù)函數(shù)的對應(yīng)法則，可得不管x是有理數(shù)還是無理數(shù)，均有f（f（x））=1；
②根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，可得f（x）是偶函數(shù)；
③根據(jù)函數(shù)的表達式，結(jié)合有理數(shù)和無理數(shù)的性質(zhì)；
④取x₁=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，x₂=0，x₃=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得A（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），B（0，1），C（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），三點恰好構(gòu)成等邊三角形．

解答 解：對于①，若x是有理數(shù)，則f（x）=1，則f（1）=1，若x是無理數(shù)，則f（x）=0，則f（0）=1，
即對于任意的x∈R，都有f（f（x））=1；故①正確，
對于②，∵有理數(shù)的相反數(shù)還是有理數(shù)，無理數(shù)的相反數(shù)還是無理數(shù)，
∴對任意x∈R，都有f（-x）=-f（x），則函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，故②正確；
對于③，若x是有理數(shù)，則x+T也是有理數(shù)； 若x是無理數(shù)，則x+T也是無理數(shù)，
∴根據(jù)函數(shù)的表達式，任取一個不為零的有理數(shù)T，f（x+T）=f（x）對x∈R恒成立，故③正確；
對于④，取x₁=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，x₂=0，x₃=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得f（x₁）=0，f（x₂）=1，f（x₃）=0，
∴A（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），B（0，1），C（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），恰好△ABC為等邊三角形，故④正確．
故答案為：①②③④．

點評 本題主要考查命題的真假判斷，給出特殊函數(shù)表達式，求函數(shù)的值并討論它的奇偶性，著重考查了有理數(shù)、無理數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的奇偶性等知識，屬于中檔題．