Question

2．求滿(mǎn)足下列條件的雙曲線方程：
（1）以2x±3y=0為漸近線，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2）；
（2）離心率為$\frac{5}{4}$，虛半軸長(zhǎng)為2；
（3）與橢圓x²+5y²=5共焦點(diǎn)且一條漸近線方程為y-$\sqrt{3}$x=0．

Answer 1

分析 （1）設(shè)方程為4x²-9y²=λ代入點(diǎn)（1，2），可得λ，即可求出雙曲線的方程；
（2）利用離心率為$\frac{5}{4}$，虛半軸長(zhǎng)為2，求出a，b，即可求出雙曲線的方程；
（3）求出橢圓x²+5y²=5焦點(diǎn)，利用一條漸近線方程為y-$\sqrt{3}$x=0，求出a，b，即可求出雙曲線的方程．

解答 解：（1）∵以2x±3y=0為漸近線，
∴設(shè)方程為4x²-9y²=λ
代入點(diǎn)（1，2），可得λ=4-36=-32，
∴雙曲線方程為4x²-9y²=-32；
（2）∵離心率為$\frac{5}{4}$，虛半軸長(zhǎng)為2，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{4}$，b=2，
∴a=1，
∴雙曲線方程為x²-$\frac{1}{4}$y²=1；
（3）橢圓x²+5y²=5焦點(diǎn)為（±2，0），∴c=2
∵一條漸近線方程為y-$\sqrt{3}$x=0，∴$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，
∴b=$\sqrt{3}$，a=1，
∴雙曲線方程為x²-$\frac{1}{3}$y²=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求雙曲線的方程，考查雙曲線的性質(zhì)，正確運(yùn)用待定系數(shù)法是關(guān)鍵．