Question

6．設(shè){a_n}的公比q的等比數(shù)列．
（1）推導(dǎo){a_n}的前n項(xiàng)和公式；
（2）設(shè)q≠1，證明數(shù)列{a_n+1}不是等比數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）利用“錯(cuò)位相減法”即可得出；
（2）用“反證法”即可證明．

解答 （1）解：q≠0．
當(dāng)q=1時(shí)，S_n=na₁；
當(dāng)q≠1時(shí)，S_n=a₁+a₂+…+a_n，
qS_n=a₁q+a₂q+…+a_nq=a₂+a₃+…+a_n+a_nq，
∴（1-q）S_n=a₁-a_nq，
∴S_n=$\frac{{a}_{1}-{a}_{n}q}{1-q}$=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$，
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{n{a}_{1}，q=1}\\{\frac{{a}_{1}-{a}_{n}q}{1-q}=\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}，q≠1}\end{array}\right.$，
（2）證明：假設(shè)q≠1時(shí)，數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列．
則$（{a}_{2}+1）^{2}=（{a}_{1}+1）（{a}_{3}+1）$，
即$（{a}_{1}q+1）^{2}=（{a}_{1}+1）（{a}_{1}{q}^{2}+1）$，
化為（q-1）²=0．解得q=1，與q≠1矛盾，
因此假設(shè)不成立，
故原結(jié)論：數(shù)列{a_n+1}不是等比數(shù)列成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的證明、“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．