Question

7．已知曲線f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{k（x-1），x＜1}\\{{x}^{2}-4x+3，x≥1}\end{array}\right.$與g（x）=log₃x有兩個交點，則k的取值范圍為（-∞，$\frac{1}{ln3}$）．

Answer 1

分析 先作出當x≥1時，f（x）=x²-4x+3與g（x）=log₃x的圖象如圖，此時滿足f（x）與g（x）有兩個交點，則條件轉(zhuǎn)化為當x＜1時，函數(shù)f（x）=k（x-1）與g（x）沒有交點，求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)和數(shù)形結(jié)合進行求解即可．

解答 解：先作出當x≥1時，f（x）=x²-4x+3與g（x）=log₃x的圖象如圖：
此時f（x）與g（x）有兩個交點，
則當x＜1時，函數(shù)f（x）=k（x-1）與g（x）沒有交點，
當k＜0時，滿足條件，
當k=0時，f（x）=0，滿足條件．
當k＞0時，
當直線y=k（x-1）與g（x）在（1，0）處相切時，
則g′（x）=$\frac{1}{xln3}$，
則g′（1）=$\frac{1}{ln3}$，此時k=$\frac{1}{ln3}$，
若當x＜1時，函數(shù)f（x）=k（x-1）與g（x）沒有交點，
在0＜k＜$\frac{1}{ln3}$，
綜上所述，k＜$\frac{1}{ln3}$，
故答案為：（-∞，$\frac{1}{ln3}$）．

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合以及導數(shù)的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，有一定的難度．