Question

11．等差數(shù)列{a_n}中，a₁=3，其前n項(xiàng)和為S_n，等比數(shù)列{b_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，b₁=1，公比為q（q≠1），且a₁+a₂=12-q，S₂=b₂•q．
（I）求a_n與b_n．
（Ⅱ）求數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知可知q²+q-12=0，解得q=3，d=6-q，求得d，根據(jù)等差數(shù)列及等比數(shù)列通項(xiàng)公式，即可求得a_n與b_n；
（2）由（1）可知，求得數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），采用“裂項(xiàng)法”即可求得數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
a₁+a₂=12-q，S₂=b₂•q．
∴d=6-q，
∴12-q=b₁•q²，
整理得：q²+q-12=0，解得：q=3或q=-4（舍去），
∴d=3，
a_n=3+3（n-1）=3n，
∴b_n=3^n-1，
（2）數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，S_n=$\frac{（3+3n）n}{2}$=$\frac{3n（n+1）}{2}$，
$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n項(xiàng)和T_n，
T_n=$\frac{2}{3}$[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）]，
=$\frac{2}{3}$（1-$\frac{1}{n+1}$），
=$\frac{2n}{3（n+1）}$，
數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{2n}{3（n+1）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，“裂項(xiàng)法”求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．