Question

11．已知函數(shù)f（x）=（2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$）x，則下列結(jié)論中正確的是（　�。�

• A． 若-3≤m＜n，則f（m）＜f（n）
• B． 若m＜n≤0，則f（m）＜f（n）
• C． 若f（m）＜f（n），則m²＜n²
• D． 若f（m）＜f（n），則m³＜n³

Answer 1

分析 求出函數(shù)f（x）的定義域，運用奇偶性的定義，判斷f（x）為偶函數(shù)，再求f（x）的導(dǎo)數(shù)，討論x＞0，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷單調(diào)性，對選項一一加以判斷即可得到答案．

解答 解：函數(shù)f（x）=（2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$）x的定義域為R，
f（-x）=（2^-x-2^x）（-x）=x（2^x-2^-x）=f（x），
則f（x）為偶函數(shù)，
f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=x（2^xln2+2^-xln2）+2^x-2^-x，
當(dāng)x＞0時，2^x＞1，0＜2^-x＜1，則f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）遞增，
則由偶函數(shù)的性質(zhì)，可得f（x）在（-∞，0]上遞減．
對于A，若-3≤m＜n，有f（m）＞f（n），A不正確；
對于B，若m＜n≤0，則f（m）＞f（n），B不正確；
對于C，若f（m）＜f（n），即為f（|m|）＜f（|n|），則有|m|＜|n|，
即有m²＜n²，C正確；
對于D，若f（m）＜f（n），則m，n不好比較大小，則D不正確．
故選C．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的運用，同時考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的運用，屬于中檔題和易錯題．